Méthode pour l'étude d'une fonction

Propriété (Rappels)

Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) de `\mathbb{R}`.

• Si, pour tout réel \(x \in I\), \(f'(x) \geqslant 0\), alors la fonction \(f\) est croissante sur l'intervalle \(I\).
• Si, pour tout réel \(x \in I\), \(f'(x) \leqslant 0\), alors la fonction \(f\) est décroissante sur l'intervalle \(I\).
  
• Si, pour tout réel \(x \in I\), \(f'(x) = 0\), alors la fonction \(f\) est constante sur l'intervalle \(I\).

Méthode

Pour étudier une fonction \(f\) définie et dérivable sur un intervalle \(I\) de `\mathbb{R}` :

• étape 1 : on calcule sa dérivée sur \(I\) en identifiant au préalable la forme de la fonction à dériver (produit, quotient…) ;
• étape 2 : on étudie le signe de la fonction dérivée sur \(I\) : il est parfois nécessaire de faire des transformations algébriques (factorisation, mise au même dénominateur…) ;
• étape 3 : on en déduit les variations de la fonction \(f\) à partir de la propriété rappelée ci-dessus ;
• étape 4 : à partir des variations de la fonction \(f\), on peut déterminer les éventuels extrema de la fonction \(f\) sur \(I\).